由淡入濃—如是我觀涂靈形象

可判定性問題

1928 年希爾伯特在國際數學家大會上,再次呼籲數學家研究數學的基礎。他特別指出三類重要問題值得探討:

一、 數學是不是完備的(complete)?完備性是說對於每一條數學的命題而言,或者可以證明此命題為真,或者可以證明其否定命題為真。

二、 數學是不是相容的(consistent)?相容性是說數學體系不可能依照邏輯的步驟推導出矛盾。

三、 數學是不是可判定的(decidable)?可判定性是說有一套明確的方法,把它運用於任何給定的命題,它會告訴你該命題是否為真。

希爾伯特自己充滿信心認為這些問題都可以得到確定的答案。早在1900年巴黎舉行的國際數學家大會上,他曾經宣布過23 條待解的問題,他說:「每一條明確的數學問題必然能有明確的解答……在數學裡沒有絕不可知的地方(ignorabimus)。」

哥德爾是數學家、邏輯學家也是哲學家。其 提出的不完備定理,讓解決希爾伯特頭兩個 問題的希望就此幻滅。

但是到1931 年,年輕的哥德爾證明了出人意表的結果:

一、 對於明確建構起來的形式化算術理論系統而言,如果這個系統是相容的,那麼它就不可能是完備的。

二、 這個系統的相容性無法在此系統中得到證明,也就是說必須引進比這個系統更強的論證方法,才有可能證明它的相容性。

這兩項結論構成哥德爾著名的「不完備定理」,而渴求解決希爾伯特頭兩個問題的希望也就此幻滅。

1935 年的春天,涂靈去聽紐曼(M. H. A. Newman, 1897~1984)的「數學基礎」課。紐曼是劍橋大學的拓樸學家,也是當時劍橋唯一對數學邏輯最新發展有深刻認識的教授。紐曼曾經出席1928年國際數學家大會,熟知希爾伯特研究數學基礎的方法。涂靈在課堂上學習了哥德爾的不完備定理,也因而知道希爾伯特的第三個問題仍然有待解決。依照紐曼的術語來說,就是要問會不會有一種「機械程序」(mechanical process),把它施用在數學命題上時,能辨識此命題在系統裡能否得證?

專業數學家多半不相信會存在這種判定程序。劍橋名氣最大的數學家哈地(G .Hardy, 1877~1947)在1928年就說:「當然不可能有這種定理,而且幸好不會有這種定理,否則我們就有一套機械的規則來解決所有的數學問題,那我們數學家就沒戲唱了。」法國大數學家龐卡雷(H. Poicare, 1854~1912)在《科學與方法》一書中以嘲弄的口吻說:「我們乾脆想像有一部機器,一頭把公設丟進去,另一頭定理就跑出來。這好像芝加哥傳奇性的屠宰機,一頭把活豬送進去,另一頭就送出火腿與香腸。如此一來,數學家跟機器一樣,都不需要理解自己在搞什麼了。」但是在哥德爾驚人的不完備定理問世後,對於整個數學是否存在判定程序,不能光靠信心說「當然不可能有」,而值得仔細深入地分析。

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