由淡入濃—如是我觀涂靈形象

涂靈機後來居上

美國數學家丘奇是涂靈在普林斯頓的導師,其 最為知名的貢獻是蘭布達演算與丘奇論點。

涂靈在完全沒有跟人討論的環境裡,完成了對於最一般的可計算性的研究,創發了劃時代的涂靈機。當他把論文給老師紐曼看時,紐曼簡直不敢相信希爾伯特的判定性問題(Entscheidungsproblem),居然可以用這麼簡單直觀的辦法解決掉。不幸的是在1936年4月15日丘奇已經發表了他的論文“A note on the Entscheidungsproblem”,而涂靈是在5月28日才把〈論數〉投給倫敦數學會的會誌,所以丘奇領先涂靈解決了希爾伯特的可判定性問題。5月底紐曼寫信給丘奇,強調涂靈在完全沒有人指導與詰辯的情形下獨力完成原創性工作。他希望丘奇能替涂靈向劍橋寫一封爭取獎學金的推薦函,以便涂靈能打破孤獨去普林斯頓追隨丘奇學習數學邏輯。

結果涂靈並沒有獲得獎學金,他靠著劍橋國王學院的單薄薪水留學普林斯頓大學。此時丘奇已經不太活躍,一些對數學邏輯有貢獻的學生也都不在,所以涂靈既沒能解除他的孤獨狀況,也沒從丘奇那裡學到多少新東西。當〈論數〉校稿寄到普林斯頓時,丘奇安排他做一場公開報告。他在家書裡說:「很少人來聽12月2日我在數學俱樂部的演講。要想有人來聽講就必須是有名的人。我演講後的下一週是伯考夫(G. D. Birkhoff, 1884~1944)主講,他的名聲很大,所以講堂都擠滿了人。但是他的演講其實很不夠水準,大家都在背後笑話他。」不僅涂靈的演講沒幾個人來聽,〈論數〉這篇在科學史上永垂不朽的論文出版後,當時也只有兩個人曾經向涂靈索取抽印本。

然而哥德爾是慧眼識英雄的。他原來對於丘奇論點並不完全有信心,直到他看了涂靈對於計算本質的分析,才被說服所有機械性的計算都已經為涂靈機所捕捉。哥德爾與涂靈這兩位偉大的心靈,雖然殊途同歸地推動了可算性理論的發皇,但是終其一生,涂靈都沒有見過哥德爾一面,也沒有跟哥德爾通信討論過問題。

涂靈機所定義的可計算函數既然與眾多其他的模式都等價,為什麼涂靈機後來會變為特別突出的貢獻呢?我個人認為涂靈從分析人類作計算的心靈歷程出發,所得到的模式最容易讓人想像,也最能給出進一步的直觀暗示。譬如在涂靈機模式裡,指導機器運算的指令也是一組有限個符號,它們與在紙帶上作為計算對象的符號,本質上沒有什麼不同。因此導引涂靈很自然地構想出一個通用(universal)涂靈機,它可以把任何其他涂靈機的指令當作自己的運算對象,針對任何給定的起始值模擬原來那台涂靈機的動作並得出相同結果。

因為理論上有通用涂靈機的保證,現代幾乎無所不能的電子計算機,才有了建造的基礎。即使是在涂靈提出他的通用涂靈機概念之後,相當多的人仍然難以想像主要用來計算數字的計算機,有可能用在日常生活的事務上。連製造電子計算機的先驅艾肯(Howard Aiken, 1900~1973)在1953年還說:「如果用來找微分方程數值解的機器,和替百貨公司開帳單的機器,在基本邏輯架構上恰好相同,我會認為這是我曾碰過的最奇妙的巧合。」

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